関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 1$) の値域が $-3 \le y \le 1$ となるような定数 $a, b$ の値を求める。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 1$) の値域が $-3 \le y \le 1$ となるような定数 $a, b$ の値を求める。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

$a < 0$ であるから、関数 $y = ax + b$ は減少関数である。したがって、$x = 1$ のとき最小値、 $x = -1$ のとき最大値をとる。

つまり、

$f(1) = a + b = -3$

$f(-1) = -a + b = 1$

この連立方程式を解く。

まず、2つの式を足し合わせると

$(a + b) + (-a + b) = -3 + 1$

$2b = -2$

$b = -1$

次に、$b = -1$ を $a + b = -3$ に代入すると

$a - 1 = -3$

$a = -2$

$a = -2, b = -1$ は $a < 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = -1$