$\sqrt{53-2n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{53-2n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{53-2n}$ が整数となるためには、$53-2n$ が0以上の平方数でなければなりません。つまり、$53-2n = k^2$ となる0以上の整数 $k$ が存在する必要があります。

$53-2n = k^2$を変形すると $2n = 53 - k^2$ となります。さらに変形すると $n = \frac{53-k^2}{2}$となります。

$n$ は自然数なので、$\frac{53-k^2}{2}$ も自然数でなければなりません。したがって、$53-k^2$ は正の偶数である必要があります。

$k$ は整数なので、$k^2$は0以上の整数です。

$53 - k^2 > 0$ より $k^2 < 53$ となります。したがって、$k$ は $0 \le k \le 7$ の範囲の整数である必要があります。（$k=8$ のとき $k^2 = 64 > 53$ となるため）

また、$53-k^2$ が偶数となるためには、$k^2$ が奇数である必要があります。$k^2$ が奇数であるためには、$k$ が奇数である必要があります。

したがって、$0 \le k \le 7$ の範囲の奇数である $k$ の値は、$k = 1, 3, 5, 7$ です。それぞれの $k$ の値に対応する $n$ の値を計算します。

* $k=1$ のとき、$n = \frac{53-1^2}{2} = \frac{52}{2} = 26$

* $k=3$ のとき、$n = \frac{53-3^2}{2} = \frac{53-9}{2} = \frac{44}{2} = 22$

* $k=5$ のとき、$n = \frac{53-5^2}{2} = \frac{53-25}{2} = \frac{28}{2} = 14$

* $k=7$ のとき、$n = \frac{53-7^2}{2} = \frac{53-49}{2} = \frac{4}{2} = 2$

以上より、$n = 2, 14, 22, 26$ が解となります。

3. 最終的な答え

$n = 2, 14, 22, 26$