問題229の次の4つの対数の値を求める問題です。 (1) $\log_9 3$ (2) $\log_{\frac{1}{3}} 9$ (3) $\log_4 \sqrt{2}$ (4) $\log_{\sqrt{2}} 8$

## 回答

1. 問題の内容

問題229の次の4つの対数の値を求める問題です。

(1) $\log_9 3$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} 9$

(3) $\log_4 \sqrt{2}$

(4) $\log_{\sqrt{2}} 8$

2. 解き方の手順

対数の定義 $a^p = M \Leftrightarrow \log_a M = p$ を利用して解きます。

(1) $\log_9 3$

$9^x = 3$ となる $x$ を探します。$9 = 3^2$ より、$(3^2)^x = 3$ となります。

$3^{2x} = 3^1$ となり、$2x = 1$ です。よって、$x = \frac{1}{2}$ です。

$\log_9 3 = \frac{1}{2}$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} 9$

$(\frac{1}{3})^x = 9$ となる $x$ を探します。 $\frac{1}{3} = 3^{-1}$、 $9 = 3^2$ より、$(3^{-1})^x = 3^2$ となります。

$3^{-x} = 3^2$ となり、$-x = 2$ です。よって、$x = -2$ です。

$\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$

(3) $\log_4 \sqrt{2}$

$4^x = \sqrt{2}$ となる $x$ を探します。$4 = 2^2$、 $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ より、$(2^2)^x = 2^{\frac{1}{2}}$ となります。

$2^{2x} = 2^{\frac{1}{2}}$ となり、$2x = \frac{1}{2}$ です。よって、$x = \frac{1}{4}$ です。

$\log_4 \sqrt{2} = \frac{1}{4}$

(4) $\log_{\sqrt{2}} 8$

$(\sqrt{2})^x = 8$ となる $x$ を探します。$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$、$8 = 2^3$ より、$(2^{\frac{1}{2}})^x = 2^3$ となります。

$2^{\frac{x}{2}} = 2^3$ となり、$\frac{x}{2} = 3$ です。よって、$x = 6$ です。

$\log_{\sqrt{2}} 8 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\log_9 3 = \frac{1}{2}$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$

(3) $\log_4 \sqrt{2} = \frac{1}{4}$

(4) $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6$