$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$ と $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$ が与えられたとき、以下の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$ と $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$ が与えられたとき、以下の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} = \frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{6 - 4\sqrt{6} + 4}{6-4} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{2} = 5 - 2\sqrt{6}$

$y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} = \frac{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{6 + 4\sqrt{6} + 4}{6-4} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{2} = 5 + 2\sqrt{6}$

(1) $x+y = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10$

(2) $xy = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4(6) = 25 - 24 = 1$

(3) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$

(4) $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (10)^3 - 3(1)(10) = 1000 - 30 = 970$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 10$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2 + y^2 = 98$

(4) $x^3 + y^3 = 970$