$x = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2}$のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3y + xy^3$ (5) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2}$のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

(5) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $xy$ を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{11})^2}{4} = \frac{5-11}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2$ を計算します。 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$です。

$x^2+y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(-\frac{3}{2}) = 5 + 3 = 8$

(4) $x^3y + xy^3$ を計算します。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2) = -\frac{3}{2} \cdot 8 = -12$

(5) $x^3+y^3$ を計算します。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = \sqrt{5}((\sqrt{5})^2 - 3(-\frac{3}{2})) = \sqrt{5}(5+\frac{9}{2}) = \sqrt{5}(\frac{10+9}{2}) = \sqrt{5} \cdot \frac{19}{2} = \frac{19\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$

(2) $xy = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2 = 8$

(4) $x^3y + xy^3 = -12$

(5) $x^3+y^3 = \frac{19\sqrt{5}}{2}$