与えられた数列の第k項と、初項から第n項までの和を求める問題です。数列は $1\cdot n, 3\cdot (n-1), 5\cdot (n-2), \dots, (2n-3)\cdot 2, (2n-1)\cdot 1$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列の第k項と、初項から第n項までの和を求める問題です。数列は

$1\cdot n, 3\cdot (n-1), 5\cdot (n-2), \dots, (2n-3)\cdot 2, (2n-1)\cdot 1$

で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項（第k項）を求めます。数列の各項は、奇数と（nから1ずつ減っていく数）の積で表されています。

第k項における奇数は、$2k-1$ と表せます。

第k項における（nから1ずつ減っていく数）は、$n-(k-1) = n-k+1$ と表せます。

したがって、第k項 $a_k$ は、

$a_k = (2k-1)(n-k+1)$

となります。

次に、初項から第n項までの和を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n-k+1)$

これを展開すると

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2kn - 2k^2 + 2k - n + k - 1)$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2kn - 2k^2 + 3k - n - 1)$

$\sum$ を分解して、

$S_n = 2n\sum_{k=1}^{n} k - 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} n - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} n = n^2$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$S_n = 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n^2 - n$

$S_n = n^2(n+1) - \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{3n(n+1)}{2} - n^2 - n$

$S_n = n^3 + n^2 - \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{3} + \frac{3n^2 + 3n}{2} - n^2 - n$

$S_n = n^3 - \frac{2}{3}n^3 + n^2 - \frac{3}{3}n^2 + \frac{3}{2}n^2 - n^2 + n - \frac{1}{3}n + \frac{3}{2}n -n$

$S_n = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S_n = \frac{n(n+1)}{6}(2n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. 最終的な答え

第k項: $a_k = (2k-1)(n-k+1)$

初項から第n項までの和: $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$