数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ であり、初項は $a_1 = 3$ です。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ であり、初項は $a_1 = 3$ です。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ を特性方程式を使って解きます。特性方程式は $x = \frac{1}{2}x + 1$ となり、これを解くと $x = 2$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は $b_1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1$ です。

したがって、$b_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n + 2$ であるから、$a_n = (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$