(2)の問題は、$I = 3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta$ と $x = \sin\theta + \cos\theta$ が与えられたときに、$I$を$x$の式で表し、$x$の取りうる値の範囲を求め、さらに$I$の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

(2)の問題は、$I = 3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta$ と $x = \sin\theta + \cos\theta$ が与えられたときに、$I$を$x$の式で表し、$x$の取りうる値の範囲を求め、さらに$I$の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗します。

$$x^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$

これより、$2\sin\theta\cos\theta = x^2 - 1$ なので、$\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2 - 1}{2}$ となります。

次に、$I = 3\sin\theta\cos\theta - (\sin\theta + \cos\theta)$ に$\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2 - 1}{2}$と$x = \sin\theta + \cos\theta$ を代入します。

$$I = 3\left(\frac{x^2 - 1}{2}\right) - x = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$$

$x = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ より、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、 $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ となります。

次に、$I = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$ の最大値と最小値を求めます。

$I = \frac{3}{2}\left(x^2 - \frac{2}{3}x\right) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{9} = \frac{3}{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{3}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{10}{6} = \frac{3}{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{5}{3}$

$x$の範囲は $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ であり、頂点の$x$座標は $\frac{1}{3}$ なので、

$x = \frac{1}{3}$のとき最小値 $I = -\frac{5}{3}$ となります。

$x = -\sqrt{2}$のとき、 $I = \frac{3}{2}\left(-\sqrt{2} - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{5}{3} = \frac{3}{2}\left(2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}\right) - \frac{5}{3} = 3 + \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{5}{3} = 3 + \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{10}{6} = \frac{18 - 9}{6} + \sqrt{2} = \frac{9}{6} + \sqrt{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$のとき、 $I = \frac{3}{2}\left(\sqrt{2} - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{5}{3} = \frac{3}{2}\left(2 - \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}\right) - \frac{5}{3} = 3 - \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{5}{3} = 3 - \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{10}{6} = \frac{18 - 9}{6} - \sqrt{2} = \frac{9}{6} - \sqrt{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$のときの方が大きいので、最大値は $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$

イ: $-\sqrt{2}$

ウ: $\sqrt{2}$

エ: $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

オ: $-\frac{5}{3}$