$2^x = 5^y = 100$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$2^x = 5^y = 100$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = 100$ と $5^y = 100$ という2つの式があることに注目します。

それぞれの式について、対数をとります。常用対数（底が10の対数）をとると、

$log_{10}(2^x) = log_{10}(100)$

$log_{10}(5^y) = log_{10}(100)$

対数の性質 $log_a(b^c) = c \cdot log_a(b)$ を利用すると、

$x \cdot log_{10}(2) = log_{10}(100)$

$y \cdot log_{10}(5) = log_{10}(100)$

$log_{10}(100) = 2$ であるから、

$x \cdot log_{10}(2) = 2$

$y \cdot log_{10}(5) = 2$

したがって、

$x = \frac{2}{log_{10}(2)}$

$y = \frac{2}{log_{10}(5)}$

$\frac{1}{x}$ と $\frac{1}{y}$ は、

$\frac{1}{x} = \frac{log_{10}(2)}{2}$

$\frac{1}{y} = \frac{log_{10}(5)}{2}$

よって、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{log_{10}(2)}{2} + \frac{log_{10}(5)}{2} = \frac{log_{10}(2) + log_{10}(5)}{2}$

対数の性質 $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$ を利用すると、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{log_{10}(2 \cdot 5)}{2} = \frac{log_{10}(10)}{2}$

$log_{10}(10) = 1$ であるから、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$