与えられた等式 $\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}$ を利用して、級数 $\frac{3}{2\cdot5} + \frac{3}{5\cdot8} + \frac{3}{8\cdot11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}$ の和を求める問題です。解析学級数部分分数分解telescoping sum2025/6/261. 問題の内容与えられた等式 3(3k−1)(3k+2)=13k−1−13k+2\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}(3k−1)(3k+2)3=3k−11−3k+21 を利用して、級数 32⋅5+35⋅8+38⋅11+⋯+3(3n−1)(3n+2)\frac{3}{2\cdot5} + \frac{3}{5\cdot8} + \frac{3}{8\cdot11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}2⋅53+5⋅83+8⋅113+⋯+(3n−1)(3n+2)3 の和を求める問題です。2. 解き方の手順与えられた等式を用いて、各項を差の形に分解します。32⋅5=12−15\frac{3}{2\cdot5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}2⋅53=21−5135⋅8=15−18\frac{3}{5\cdot8} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8}5⋅83=51−8138⋅11=18−111\frac{3}{8\cdot11} = \frac{1}{8} - \frac{1}{11}8⋅113=81−111⋮\vdots⋮3(3n−1)(3n+2)=13n−1−13n+2\frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}(3n−1)(3n+2)3=3n−11−3n+21これらの式をすべて足し合わせると、多くの項が打ち消し合い、初項と末項のみが残ります。S=(12−15)+(15−18)+(18−111)+⋯+(13n−1−13n+2)S = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)S=(21−51)+(51−81)+(81−111)+⋯+(3n−11−3n+21)S=12−13n+2S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}S=21−3n+21S=(3n+2)−22(3n+2)S = \frac{(3n+2) - 2}{2(3n+2)}S=2(3n+2)(3n+2)−2S=3n2(3n+2)S = \frac{3n}{2(3n+2)}S=2(3n+2)3nS=3n6n+4S = \frac{3n}{6n+4}S=6n+43n3. 最終的な答え3n6n+4\frac{3n}{6n+4}6n+43n
