関数 $y = e^{-\frac{x^2}{3}}$ の第2次導関数 $y''$ を求める問題です。既に第1次導関数 $y' = -\frac{2x}{3} e^{-\frac{x^2}{3}}$ が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-\frac{x^2}{3}}$ の第2次導関数 $y''$ を求める問題です。既に第1次導関数 $y' = -\frac{2x}{3} e^{-\frac{x^2}{3}}$ が与えられています。

2. 解き方の手順

第1次導関数 $y'$ をさらに微分して、第2次導関数 $y''$ を求めます。

$y'$ は $x$ の関数と $e^{-\frac{x^2}{3}}$ の関数の積になっているので、積の微分公式を用います。

積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

ここで、$u = -\frac{2x}{3}$ , $v = e^{-\frac{x^2}{3}}$ とおくと、

$u' = -\frac{2}{3}$

$v' = -\frac{2x}{3}e^{-\frac{x^2}{3}}$

したがって、

$y'' = u'v + uv' = -\frac{2}{3} e^{-\frac{x^2}{3}} + (-\frac{2x}{3})(-\frac{2x}{3}e^{-\frac{x^2}{3}})$

$y'' = -\frac{2}{3} e^{-\frac{x^2}{3}} + \frac{4x^2}{9} e^{-\frac{x^2}{3}}$

$y'' = (\frac{4x^2}{9} - \frac{2}{3})e^{-\frac{x^2}{3}}$

$y'' = \frac{4x^2 - 6}{9}e^{-\frac{x^2}{3}}$

$y'' = \frac{2(2x^2 - 3)}{9}e^{-\frac{x^2}{3}}$

3. 最終的な答え

$y'' = \frac{2(2x^2 - 3)}{9}e^{-\frac{x^2}{3}}$