次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{x+2}, x = 2, x = 7,$ および $x$軸 (2) $y = e^{\frac{x}{2}}, x = 2, x$軸, および $y$軸

1. 問題の内容

次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{x+2}, x = 2, x = 7,$ および $x$軸

(2) $y = e^{\frac{x}{2}}, x = 2, x$軸, および $y$軸

2. 解き方の手順

(1) 面積$S$は定積分で求められます。$x=2$ から $x=7$ までの $\sqrt{x+2}$ の定積分を計算します。

$S = \int_{2}^{7} \sqrt{x+2} dx$

$t = x+2$ と置換すると、$dt = dx$ となります。

$x = 2$ のとき $t = 4$、$x = 7$ のとき $t = 9$ となります。

$S = \int_{4}^{9} \sqrt{t} dt = \int_{4}^{9} t^{\frac{1}{2}} dt = \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{4}^{9}$

$S = \frac{2}{3} (9^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (27 - 8) = \frac{2}{3} \cdot 19 = \frac{38}{3}$

(2) $x=0$ から $x=2$ までの $e^{\frac{x}{2}}$ の定積分を計算します。

$S = \int_{0}^{2} e^{\frac{x}{2}} dx$

$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$, $dx = 2du$ となります。

$x = 0$ のとき $u = 0$、$x = 2$ のとき $u = 1$ となります。

$S = \int_{0}^{1} e^{u} (2 du) = 2 \int_{0}^{1} e^{u} du = 2 \left[ e^{u} \right]_{0}^{1} = 2 (e^1 - e^0) = 2(e - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{38}{3}$

(2) $S = 2(e - 1)$