$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z} $が成り立つとき、$x+y$, $y+z$, $z+x$ のうち少なくとも1つが0であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$が成り立つとき、$x+y$, $y+z$, $z+x$ のうち少なくとも1つが0であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形していきます。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$

両辺に$xyz(x+y+z)$を掛けると、

$yz(x+y+z) + xz(x+y+z) + xy(x+y+z) = xyz$

$xyz + y^2z + yz^2 + x^2z + xyz + xz^2 + x^2y + xy^2 + xyz = xyz$

$2xyz + y^2z + yz^2 + x^2z + xz^2 + x^2y + xy^2 = 0$

$x^2y + x^2z + xy^2 + 2xyz + xz^2 + y^2z + yz^2 = 0$

$x^2(y+z) + x(y^2+2yz+z^2) + yz(y+z) = 0$

$x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z) = 0$

$(y+z)[x^2 + x(y+z) + yz] = 0$

$(y+z)[x^2 + xy + xz + yz] = 0$

$(y+z)[x(x+y) + z(x+y)] = 0$

$(y+z)(x+y)(x+z) = 0$

したがって、$y+z = 0$または$x+y = 0$または$x+z = 0$。

つまり、$x+y$, $y+z$, $z+x$のうち少なくとも1つは0である。

3. 最終的な答え

$x+y$, $y+z$, $z+x$ のうち少なくとも1つは0である。