$a > 0, a \neq 1$ のとき、不等式 $\log_a(x+2) \geq \log_a(3x+16)$ を解きます。

1. 問題の内容

$a > 0, a \neq 1$ のとき、不等式 $\log_a(x+2) \geq \log_a(3x+16)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、対数が定義されるための条件を確認します。

$x+2 > 0$ より、$x > -2$

$3x+16 > 0$ より、$x > -\frac{16}{3}$

したがって、$x > -2$ が必要です。

次に、不等式 $\log_a(x+2) \geq \log_a(3x+16)$ を解きます。

$a > 1$ のとき、$x+2 \geq 3x+16$

$-2x \geq 14$

$x \leq -7$

これは、$x > -2$ に矛盾するので、解はありません。

$0 < a < 1$ のとき、$x+2 \leq 3x+16$

$-2x \leq 14$

$x \geq -7$

このとき、$x > -2$ より、$-2 < x$

したがって、不等式を解くと、$-2 < x \leq -7$と $a>1$のとき解なしですが, $-2 < x \leq -7$は条件$x > -2$に矛盾しているため、解はありません。

$\log_a(x+2)$ と $\log_a(3x+16)$ の底は $a$ である必要がありますが、問題文では $\log_a(3x+16)$ の底が $a^2$ となっています。問題を修正して $\log_a(x+2) \geq \log_a(3x+16)$ を解くことにします。

$a>1$ のとき

$x+2 \geq 3x+16$

$-2x \geq 14$

$x \leq -7$

$x>-2$ より、$x \leq -7$ は解になりません。

$0 < a < 1$ のとき

$x+2 \leq 3x+16$

$-2x \leq 14$

$x \geq -7$

$x > -2$ より、$x > -2$ 。したがって、$-2 < x$ 。

もし問題文が $\log_a(x+2) \geq \log_{a^2}(3x+16)$ であれば、

$\log_a(x+2) \geq \frac{1}{2}\log_a(3x+16)$

$2\log_a(x+2) \geq \log_a(3x+16)$

$\log_a(x+2)^2 \geq \log_a(3x+16)$

$a>1$ のとき

$(x+2)^2 \geq 3x+16$

$x^2+4x+4 \geq 3x+16$

$x^2+x-12 \geq 0$

$(x+4)(x-3) \geq 0$

$x \leq -4, x \geq 3$

$x > -2$ より、$x \geq 3$

$0 < a < 1$ のとき

$(x+2)^2 \leq 3x+16$

$x^2+4x+4 \leq 3x+16$

$x^2+x-12 \leq 0$

$(x+4)(x-3) \leq 0$

$-4 \leq x \leq 3$

$x > -2$ より、$-2 < x \leq 3$

3. 最終的な答え

問題文が $\log_a(x+2) \geq \log_a(3x+16)$ の場合：

$a>1$のとき、解なし

$0 < a < 1$のとき、解なし

問題文が $\log_a(x+2) \geq \log_{a^2}(3x+16)$ の場合：

$a>1$のとき、$x \geq 3$

$0 < a < 1$のとき、$-2 < x \leq 3$