関数 $y = -3x + 1$ の $-2 \le x \le 1$ におけるグラフを描き、値域、最大値、最小値を求める。

問題が複数あるので、それぞれの問題について解答します。

**問題1: [クリアー数学Ⅰ 問題165] (2)**

1. 問題の内容

関数 $y = -3x + 1$ の $-2 \le x \le 1$ におけるグラフを描き、値域、最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = -3x + 1$ は一次関数であり、直線を表す。

定義域の両端 $x = -2$ および $x = 1$ における $y$ の値を計算する。

$x = -2$ のとき、$y = -3(-2) + 1 = 6 + 1 = 7$

$x = 1$ のとき、$y = -3(1) + 1 = -3 + 1 = -2$

よって、グラフは点 $(-2, 7)$ と点 $(1, -2)$ を結ぶ直線になる。

値域は $-2 \le y \le 7$ となる。

最大値は $y = 7$ ($x = -2$ のとき)。

最小値は $y = -2$ ($x = 1$ のとき)。

3. 最終的な答え

グラフ: 点 $(-2, 7)$ と点 $(1, -2)$ を結ぶ直線。

値域: $-2 \le y \le 7$

最大値: $7$

最小値: $-2$

**問題2: [クリアー数学Ⅰ 問題165] (3)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x + 3$ の $-1 \le x \le 3$ におけるグラフを描き、値域、最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{1}{2}x + 3$ は一次関数であり、直線を表す。

定義域の両端 $x = -1$ および $x = 3$ における $y$ の値を計算する。

$x = -1$ のとき、$y = \frac{1}{2}(-1) + 3 = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2} = 2.5$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{1}{2}(3) + 3 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2} = 4.5$

よって、グラフは点 $(-1, 2.5)$ と点 $(3, 4.5)$ を結ぶ直線になる。

値域は $\frac{5}{2} \le y \le \frac{9}{2}$ となる。

最大値は $y = \frac{9}{2}$ ($x = 3$ のとき)。

最小値は $y = \frac{5}{2}$ ($x = -1$ のとき)。

3. 最終的な答え

グラフ: 点 $(-1, 2.5)$ と点 $(3, 4.5)$ を結ぶ直線。

値域: $\frac{5}{2} \le y \le \frac{9}{2}$

最大値: $\frac{9}{2}$

最小値: $\frac{5}{2}$

**問題3: [クリアー数学Ⅰ 問題167]**

1. 問題の内容

関数 $y = 2x + a$ の $-4 \le x \le b$ における値域が $-5 \le y \le 7$ となるような定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = 2x + a$ は一次関数であり、傾きが正なので、$x$ が小さいほど $y$ も小さく、$x$ が大きいほど $y$ も大きい。

したがって、$x = -4$ のとき $y = -5$ となり、$x = b$ のとき $y = 7$ となる。

$x = -4$ のとき $y = -5$ より、$-5 = 2(-4) + a$。これから、$a = -5 + 8 = 3$。

$x = b$ のとき $y = 7$ より、$7 = 2b + a$。$a = 3$ を代入して、$7 = 2b + 3$。これから、$2b = 4$、$b = 2$。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 2$

**問題4: [クリアー数学Ⅰ 問題170] (2)**

1. 問題の内容

関数 $y = -4x^2$ のグラフを描き、放物線が上に凸か下に凸かを答える。

2. 解き方の手順

$y = -4x^2$ は2次関数であり、原点 $(0, 0)$ を頂点とする放物線になる。

$x^2$ の係数が負であるため、上に凸な放物線になる。

3. 最終的な答え

グラフ: 原点を頂点とする上に凸な放物線。

上に凸

**問題5: [クリアー数学Ⅰ 問題170] (3)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3}{2}x^2$ のグラフを描き、放物線が上に凸か下に凸かを答える。

2. 解き方の手順

$y = \frac{3}{2}x^2$ は2次関数であり、原点 $(0, 0)$ を頂点とする放物線になる。

$x^2$ の係数が正であるため、下に凸な放物線になる。

3. 最終的な答え

グラフ: 原点を頂点とする下に凸な放物線。

下に凸

**問題6: [クリアー数学Ⅰ 問題171] (2)**

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 1$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

$y = -2x^2 + 1$ は2次関数であり、頂点は $(0, 1)$ である。

軸は $x = 0$ (y軸) である。

$x^2$ の係数が負であるため、上に凸な放物線になる。

3. 最終的な答え

グラフ: 頂点 $(0, 1)$ をもつ上に凸な放物線。

軸: $x = 0$

頂点: $(0, 1)$

**問題7: [クリアー数学Ⅰ 問題171] (4)**

1. 問題の内容

関数 $y = -3(x+2)^2$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

$y = -3(x+2)^2$ は2次関数であり、頂点は $(-2, 0)$ である。

軸は $x = -2$ である。

$x^2$ の係数が負であるため、上に凸な放物線になる。

3. 最終的な答え

グラフ: 頂点 $(-2, 0)$ をもつ上に凸な放物線。

軸: $x = -2$

頂点: $(-2, 0)$

**問題8: [クリアー数学Ⅰ 問題171] (5)**

1. 問題の内容

関数 $y = 2(x-2)^2 - 1$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

$y = 2(x-2)^2 - 1$ は2次関数であり、頂点は $(2, -1)$ である。

軸は $x = 2$ である。

$x^2$ の係数が正であるため、下に凸な放物線になる。

3. 最終的な答え

グラフ: 頂点 $(2, -1)$ をもつ下に凸な放物線。

軸: $x = 2$

頂点: $(2, -1)$