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与えられた漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n$ によって定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

代数学数列漸化式等比数列一般項
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた漸化式 a1=1a_1 = 1, an+1=2ana_{n+1} = 2a_n によって定義される数列 {an}\{a_n\} の一般項 ana_n を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 an+1=2ana_{n+1} = 2a_n は、数列 {an}\{a_n\} が公比2の等比数列であることを示しています。
初項は a1=1a_1 = 1 です。等比数列の一般項の公式は an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} です。ここで a1a_1 は初項、rr は公比、nn は項の番号です。
この問題では、a1=1a_1 = 1、 r=2r = 2 なので、数列 {an}\{a_n\} の一般項は次のようになります。
an=1⋅2n−1=2n−1a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}

3. 最終的な答え

an=2n−1a_n = 2^{n-1}

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