2次関数 $y=2x^2-2x+1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y=2x^2-2x+1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 2x + 1$

$y = 2(x^2 - x) + 1$

$y = 2\left(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + 1$

$y = 2\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) + 1$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$

この関数の頂点は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ です。

定義域は $-1 \le x \le 0$ です。軸 $x = \frac{1}{2}$ はこの範囲外にあります。したがって、$x = -1$ または $x = 0$ で最大値をとります。

$x = -1$ のとき、

$y = 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5$

$x = 0$ のとき、

$y = 2(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

したがって、$x = -1$ で最大値 $5$ をとり、$x = 0$ で最小値 $1$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値は $5$、最小値は $1$。