数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定義されている： $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$. この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定義されている：

$a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$.

この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3^n$ を利用して、$a_n$ を $a_1$ から順に足し上げていく形で表現することを考えます。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_{n-1} + 3^{n-1}$

$a_{n-1} = a_{n-2} + 3^{n-2}$

...

$a_2 = a_1 + 3^1$

これらの式をすべて足し合わせると、

$a_n = a_1 + 3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$

となります。ここで、$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + 3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$

これは初項1、公比3、項数$n$の等比数列の和です。ただし、$n=1$の時は$a_1=1$です。

等比数列の和の公式を用いると、

$a_n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

これは $n \geq 2$ の場合に導いた式ですが、$n=1$ の場合にも $a_1 = \frac{3^1 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たすため、$n=1$の時も成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3^n - 1}{2}$