2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1$

$y = 2 \left( x^2 - x + \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) + 1$

$y = 2 \left( \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} \right) + 1$

$y = 2 \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} + 1$

$y = 2 \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2}$

この関数の頂点は $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ である。

軸 $x=\frac{1}{2}$ は、定義域 $-1 \le x \le 0$ の外にあるため、端点で最大値と最小値を取る可能性がある。

$x = -1$ のとき、

$y = 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5$

$x = 0$ のとき、

$y = 2(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

したがって、定義域内で $x=-1$ のときに最大値5をとり、$x=0$ のときに最小値1をとる。

3. 最終的な答え

最大値：5

最小値：1