2次関数 $y = x^2 - 2ax + 6a$ について、区間 $1 \le x \le 2$ における最小値が9であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 6a$ について、区間 $1 \le x \le 2$ における最小値が9であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 6a$

$y = (x - a)^2 - a^2 + 6a$

この2次関数の軸は $x = a$ です。定義域 $1 \le x \le 2$ と軸 $x = a$ の位置関係によって場合分けをします。

(1) $a < 1$ のとき

区間 $1 \le x \le 2$ で関数は単調増加なので、最小値は $x = 1$ のときにとります。

$y(1) = 1^2 - 2a(1) + 6a = 1 - 2a + 6a = 1 + 4a$

最小値が9なので、$1 + 4a = 9$ より、$4a = 8$ よって $a = 2$

これは、$a < 1$ を満たさないので不適です。

(2) $1 \le a \le 2$ のとき

頂点で最小値をとります。

$y(a) = -a^2 + 6a = 9$

$a^2 - 6a + 9 = 0$

$(a - 3)^2 = 0$

$a = 3$

これは、$1 \le a \le 2$ を満たさないので不適です。

(3) $a > 2$ のとき

区間 $1 \le x \le 2$ で関数は単調減少なので、最小値は $x = 2$ のときにとります。

$y(2) = 2^2 - 2a(2) + 6a = 4 - 4a + 6a = 4 + 2a$

最小値が9なので、$4 + 2a = 9$ より、$2a = 5$ よって $a = \frac{5}{2}$

これは、$a > 2$ を満たしているので適します。

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{2}$