2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ について、$-3 \le x \le 0$ における最大値が7であるとき、$a$ の値を求め、このときの最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ について、$-3 \le x \le 0$ における最大値が7であるとき、$a$ の値を求め、このときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 4x + a = 2(x^2 + 2x) + a = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + a = 2((x+1)^2 - 1) + a = 2(x+1)^2 - 2 + a$

したがって、平方完成形は $y = 2(x+1)^2 + a - 2$ となる。

このグラフは下に凸な放物線であり、軸は $x = -1$ である。定義域は $-3 \le x \le 0$ である。

定義域における軸の位置を考えると、軸は定義域に含まれる。

$x = -3$ のとき、$y = 2(-3+1)^2 + a - 2 = 2(-2)^2 + a - 2 = 8 + a - 2 = a + 6$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1+1)^2 + a - 2 = a - 2$

$x = 0$ のとき、$y = 2(0+1)^2 + a - 2 = 2 + a - 2 = a$

最大値は、$x = -3$ のとき、または $x = 0$ のときに取ることが考えられる。

最大値が7であることから、$a + 6 = 7$ または $a = 7$ が考えられる。

$a + 6 = 7$ のとき、$a = 1$

$a = 7$ のとき、$a = 7$

したがって、$a = 1$ または $a = 7$

- $a = 1$のとき、

$x = -1$ のとき、$y = 1 - 2 = -1$

$x = -3$ のとき、$y = 1 + 6 = 7$

$x = 0$ のとき、$y = 1$

よって、最大値は7、最小値は-1となる。

- $a = 7$のとき、

$x = -1$ のとき、$y = 7 - 2 = 5$

$x = -3$ のとき、$y = 7 + 6 = 13$

$x = 0$ のとき、$y = 7$

よって、最大値は13となり、問題文の条件に合わない。

したがって、$a = 1$ であり、最小値は $-1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 1$

最小値: $-1$