7つの文字 S, C, I, E, N, C, E をすべて使って文字列を作る。 (ア) 異なる並べ方は何通りあるか。 (イ) S は I より左側にあり、かつ I は N より左側にあるような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

7つの文字 S, C, I, E, N, C, E をすべて使って文字列を作る。

(ア) 異なる並べ方は何通りあるか。

(イ) S は I より左側にあり、かつ I は N より左側にあるような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(ア)

7つの文字の中に C が2つ、E が2つあるので、同じものを含む順列の公式を用いる。

7つの文字を並べる順列の総数は、

$\frac{7!}{2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = 7 \times 6 \times 5 \times 6 = 1260$ 通り。

(イ)

S, I, N の位置関係が S, I, N の順に決まっている。

まず、7つの文字を並べる場所を7つ用意する。

この中から3つを選んで S, I, N をこの順に入れる。これは $_7C_3$ 通り。

残りの4つの場所に C, E, C, E を並べる。これは $\frac{4!}{2!2!}$ 通り。

したがって、並べ方は

$_7C_3 \times \frac{4!}{2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = 35 \times 6 = 210$ 通り。

3. 最終的な答え

(ア) 1260 通り

(イ) 210 通り