7個の文字a, a, a, b, b, c, cをすべて並べ替える場合の総数を求めます。

## 問題の回答

### 7 (1)

1. 問題の内容

7個の文字a, a, a, b, b, c, cをすべて並べ替える場合の総数を求めます。

2. 解き方の手順

これは重複がある順列の問題です。

7個の文字を並べる順列の総数は7!ですが、同じ文字が複数あるため、それらの並べ替えを考慮して割る必要があります。

aが3個、bが2個、cが2個あります。

したがって、並べ方の総数は、

$\frac{7!}{3!2!2!}$

で計算できます。

計算:

$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 2 \times 2} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

3. 最終的な答え

210通り

### 7 (2)

1. 問題の内容

8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3をすべて使ってできる8桁の数の総数を求めます。

2. 解き方の手順

これも重複がある順列の問題です。

8個の数字を並べる順列の総数は8!ですが、同じ数字が複数あるため、それらの並べ替えを考慮して割る必要があります。

1が3個、3が4個あります。

したがって、8桁の数の総数は、

$\frac{8!}{3!4!}$

で計算できます。

計算:

$\frac{8!}{3!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$

3. 最終的な答え

280個

### 8 (1)

1. 問題の内容

10人を2人ずつの5つのグループに分け、それぞれにA, B, C, D, Eという名前を付ける方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、10人からAグループの2人を選びます。これは $_{10}C_2$ 通りです。

次に、残りの8人からBグループの2人を選びます。これは $_{8}C_2$ 通りです。

同様に、C, D, Eグループを選びます。これはそれぞれ $_{6}C_2$, $_{4}C_2$, $_{2}C_2$ 通りです。

したがって、

$_{10}C_2 \times _{8}C_2 \times _{6}C_2 \times _{4}C_2 \times _{2}C_2$

で計算できます。

計算:

$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$

$_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

$_{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

$_{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

$_{2}C_2 = 1$

$45 \times 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 113400$

3. 最終的な答え

113400通り

### 8 (2)

1. 問題の内容

10人を2人ずつの5つのグループに分ける方法の数を求めます。グループに名前はついていません。

2. 解き方の手順

前の問題と同様に、まず10人を2人ずつの5つのグループに分ける方法を計算します。これは113400通りでした。

ただし、グループに名前がついていないので、グループの順番を考慮する必要はありません。5つのグループの並べ替えは5!通りあるので、113400を5!で割る必要があります。

したがって、

$\frac{113400}{5!} = \frac{113400}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{113400}{120} = 945$

3. 最終的な答え

945通り