集合 $A$ を 5 で割り切れる自然数の集合、$B$ を 6 で割り切れる自然数の集合と定義する。 以下の (1) ～ (4) について、左側の条件が右側の条件であるための必要十分条件、必要条件であるが十分条件ではない、十分条件であるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない、のうち、いずれであるかを答える。 (1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が 10 で割り切れるための何か。 (2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が 2 で割り切れるための何か。 (3) $n$ が $B$ に属さないことは、$n$ が 3 で割り切れるための何か。 (4) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が 30 で割り切れるための何か。

1. 問題の内容

集合 $A$ を 5 で割り切れる自然数の集合、$B$ を 6 で割り切れる自然数の集合と定義する。

以下の (1) ～ (4) について、左側の条件が右側の条件であるための必要十分条件、必要条件であるが十分条件ではない、十分条件であるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない、のうち、いずれであるかを答える。

(1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が 10 で割り切れるための何か。

(2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が 2 で割り切れるための何か。

(3) $n$ が $B$ に属さないことは、$n$ が 3 で割り切れるための何か。

(4) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が 30 で割り切れるための何か。

2. 解き方の手順

(1)

$n \in A \iff n = 5k$ ($k$ は自然数)

$n$ が 10 で割り切れる $\iff n = 10l$ ($l$ は自然数)

$n$ が 10 で割り切れるならば、$n$ は 5 で割り切れる。

$n = 10l = 5(2l)$

よって、十分条件である。

$n$ が 5 で割り切れるならば、$n$ は 10 で割り切れるとは限らない。(例: $n=5$)

よって、必要条件ではない。

したがって、十分条件であるが必要条件ではない。

(2)

$n \in B \iff n = 6k$ ($k$ は自然数)

$n$ が 2 で割り切れる $\iff n = 2l$ ($l$ は自然数)

$n$ が $B$ に属するならば、$n = 6k = 2(3k)$ なので、$n$ は 2 で割り切れる。

よって、必要条件である。

$n$ が 2 で割り切れるならば、$n$ が $B$ に属するとは限らない。(例: $n=2$)

よって、十分条件ではない。

したがって、必要条件であるが十分条件ではない。

(3)

$n \notin B \iff n$ は 6 で割り切れない

$n$ が 3 で割り切れる $\iff n = 3k$ ($k$ は自然数)

$n \notin B$ ならば、$n$ が 3 で割り切れるとは限らない。(例: $n=1, n=2, n=4, n=5$)

よって、十分条件ではない。

$n$ が 3 で割り切れるならば、$n \notin B$ とは限らない。(例: $n=6$)

よって、必要条件ではない。

したがって、必要条件でも十分条件でもない。

(4)

$n \in A \cap B \iff n$ は 5 で割り切れ、かつ 6 で割り切れる。

$\iff n$ は 30 で割り切れる

$n$ が 30 で割り切れる $\iff n = 30k$ ($k$ は自然数)

$n \in A \cap B \iff n$ は 5 の倍数かつ 6 の倍数 $\iff n$ は 30 の倍数

よって、必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 必要条件であるが十分条件ではない

(3) 必要条件でも十分条件でもない

(4) 必要十分条件である