4種類の色のペンキがあり、右の図形の全ての面をいずれかで塗ります。ただし、図形の各面は区別されており、1つの面は1つの色のみを用い、隣接する面は異なる色で塗ります。塗り方は何通りあるでしょうか。図形は、外側の大きな三角形の中に、さらに小さな三角形が3つと一番内側に小さな三角形が1つあります。したがって、全部で5つの面があります。

1. 問題の内容

4種類の色のペンキがあり、右の図形の全ての面をいずれかで塗ります。ただし、図形の各面は区別されており、1つの面は1つの色のみを用い、隣接する面は異なる色で塗ります。塗り方は何通りあるでしょうか。図形は、外側の大きな三角形の中に、さらに小さな三角形が3つと一番内側に小さな三角形が1つあります。したがって、全部で5つの面があります。

2. 解き方の手順

まず、一番内側の三角形の色を決めます。4色の中から1色選ぶので、4通りの選び方があります。

次に、内側の三角形に隣接する3つの三角形の色を決めます。内側の三角形の色とは異なる色を選ぶ必要があります。

* 1つ目の三角形の色は、内側の三角形の色以外の3色から選べるので3通り。

* 2つ目の三角形の色は、内側の三角形の色と1つ目の三角形の色以外の2色から選べるので2通り。

* 3つ目の三角形の色は、内側の三角形の色と1つ目の三角形の色、2つ目の三角形の色以外の1色から選べるので1通り。

最後に、一番外側の三角形の色を決めます。これは内側の3つの三角形と隣接しているので、それぞれの色と異なる色を選ばなくてはなりません。内側の３つの三角形は全て異なる色なので、外側の三角形の色は内側の三角形の色以外の1色から選ぶことになります。なので1通り。

したがって、塗り方の総数は、次のようになります。

$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 24$

3. 最終的な答え

24通り