2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1 = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

したがって、この2次関数の頂点は $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ であり、下に凸の放物線である。

定義域が $-1 \le x \le 0$ であるから、この範囲における最大値と最小値を考える。

軸 $x = \frac{1}{2}$ は定義域 $-1 \le x \le 0$ の外にある。

したがって、定義域の端点 $x=-1$ または $x=0$ で最大値または最小値をとる。

$x = -1$ のとき $y = 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5$

$x = 0$ のとき $y = 2(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

したがって、定義域 $-1 \le x \le 0$ における最大値は $5$ ($x = -1$ のとき) であり、最小値は $1$ ($x = 0$ のとき) である。

3. 最終的な答え

最大値: 5 ($x = -1$ のとき)

最小値: 1 ($x = 0$ のとき)