与えられた二次方程式 $(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2) = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式 $(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2) = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

二次方程式の解の公式を利用します。

与えられた二次方程式は、$Ax^2 + Bx + C = 0$ の形をしており、$A = a^2 - b^2$, $B = 4ab$, $C = -(a^2 - b^2)$ です。

解の公式は以下の通りです。

$x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

この公式に、$A, B, C$ の値を代入します。

$x = \frac{-4ab \pm \sqrt{(4ab)^2 - 4(a^2 - b^2)(-(a^2 - b^2))}}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-4ab \pm \sqrt{16a^2b^2 + 4(a^2 - b^2)^2}}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-4ab \pm \sqrt{16a^2b^2 + 4(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)}}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-4ab \pm \sqrt{16a^2b^2 + 4a^4 - 8a^2b^2 + 4b^4}}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-4ab \pm \sqrt{4a^4 + 8a^2b^2 + 4b^4}}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-4ab \pm \sqrt{4(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)}}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-4ab \pm \sqrt{4(a^2 + b^2)^2}}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-4ab \pm 2(a^2 + b^2)}{2(a^2 - b^2)}$

$x = \frac{-2ab \pm (a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$

$x_1 = \frac{-2ab + a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{a - b}{a + b}$

$x_2 = \frac{-2ab - a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = \frac{-(a^2 + 2ab + b^2)}{(a - b)(a + b)} = \frac{-(a + b)^2}{(a - b)(a + b)} = -\frac{a + b}{a - b} = \frac{a + b}{b - a}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{a-b}{a+b}, \frac{a+b}{b-a}$