(1) 不等式 $|5x - 41| < 2x + 1$ を満たす整数 $x$ の最大値と最小値を求める。 (2) 不等式 $2|x - 2| + |x - 1| < 3$ を解く。 (3) 等式 $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $|5x - 41| < 2x + 1$ を満たす整数 $x$ の最大値と最小値を求める。

(2) 不等式 $2|x - 2| + |x - 1| < 3$ を解く。

(3) 等式 $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $|5x - 41| < 2x + 1$ を解く。

まず、絶対値を外すために、$- (2x + 1) < 5x - 41 < 2x + 1$ を解く。

$-2x - 1 < 5x - 41$ を解くと、

$40 < 7x$

$x > \frac{40}{7}$

$5x - 41 < 2x + 1$ を解くと、

$3x < 42$

$x < 14$

したがって、$\frac{40}{7} < x < 14$ となる。$\frac{40}{7} \approx 5.71$ なので、$x$ は $6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ となる。

最大値は $13$、最小値は $6$。

(2) $2|x - 2| + |x - 1| < 3$ を解く。

場合分けをする。

(i) $x \ge 2$ のとき、$2(x - 2) + (x - 1) < 3$

$2x - 4 + x - 1 < 3$

$3x - 5 < 3$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3}$

$2 \le x < \frac{8}{3}$

(ii) $1 \le x < 2$ のとき、$2(2 - x) + (x - 1) < 3$

$4 - 2x + x - 1 < 3$

$-x + 3 < 3$

$-x < 0$

$x > 0$

$1 \le x < 2$

(iii) $x < 1$ のとき、$2(2 - x) + (1 - x) < 3$

$4 - 2x + 1 - x < 3$

$5 - 3x < 3$

$-3x < -2$

$x > \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 1$

したがって、$\frac{2}{3} < x < \frac{8}{3}$

(3) $|x - |x - 2|| = 1$ を満たす実数 $x$ を求める。

場合分けをする。

(i) $x \ge 2$ のとき、$|x - (x - 2)| = 1$

$|2| = 1$

$2 = 1$ となり不適。

(ii) $x < 2$ のとき、 $|x - (2 - x)| = 1$

$|x - 2 + x| = 1$

$|2x - 2| = 1$

$2x - 2 = 1$ または $2x - 2 = -1$

$2x = 3$ または $2x = 1$

$x = \frac{3}{2}$ または $x = \frac{1}{2}$

どちらも $x < 2$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $13$, 最小値 $6$

(2) $\frac{2}{3} < x < \frac{8}{3}$

(3) $x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$