与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。数列の各項は、$k$ 番目の項が $1 + 2 + 3 + \dots + k$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。数列の各項は、$k$ 番目の項が $1 + 2 + 3 + \dots + k$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $a_k$ を求めます。$a_k$ は $1$ から $k$ までの和なので、等差数列の和の公式を用いると、

$$a_k = \sum_{i=1}^k i = \frac{k(k+1)}{2}$$

となります。

次に、$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ を計算します。

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (k^2 + k)$$

ここで、$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right)$$

$$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2} \right)$$

$$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1+3}{6} \right)$$

$$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+4}{6} \right)$$

$$S_n = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

3. 最終的な答え

$$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$