$\cos 165^\circ$ の値を、$\cos(120^\circ + 45^\circ)$ の加法定理を用いて計算する問題です。

1. 問題の内容

$\cos 165^\circ$ の値を、$\cos(120^\circ + 45^\circ)$ の加法定理を用いて計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いて、$\cos 165^\circ = \cos(120^\circ + 45^\circ)$ を展開します。

$\cos 165^\circ = \cos(120^\circ + 45^\circ) = \cos 120^\circ \cos 45^\circ - \sin 120^\circ \sin 45^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入します。

$\cos 165^\circ = (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\cos 165^\circ = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos 165^\circ = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$