常用対数表を使わずに、$\log_{10}2$の値について考察する問題です。 (1) $2^{10} > 10^3$を利用して、$\frac{3}{10} < \log_{10}2$を証明します。 (2) $2^{30} < 1.1 \times 10^9$を利用して、$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$を証明します。

1. 問題の内容

常用対数表を使わずに、$\log_{10}2$の値について考察する問題です。

(1) $2^{10} > 10^3$を利用して、$\frac{3}{10} < \log_{10}2$を証明します。

(2) $2^{30} < 1.1 \times 10^9$を利用して、$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$を証明します。

2. 解き方の手順

(1) $2^{10} > 10^3$の両辺の常用対数を取ります。底が10の対数なので、対数の大小関係は元の数の大小関係と同じです。

$$\log_{10}(2^{10}) > \log_{10}(10^3)$$

対数の性質より、

$$10\log_{10}2 > 3$$

両辺を10で割ると、

$$\log_{10}2 > \frac{3}{10}$$

よって、$\frac{3}{10} < \log_{10}2$が証明されました。

(2) $2^{30} < 1.1 \times 10^9$の両辺の常用対数を取ります。

$$\log_{10}(2^{30}) < \log_{10}(1.1 \times 10^9)$$

対数の性質より、

$$30\log_{10}2 < \log_{10}1.1 + \log_{10}10^9$$

$$30\log_{10}2 < \log_{10}1.1 + 9$$

ここで、$1.1 < 10^{0.04}$なので、$\log_{10}1.1 < 0.04$が成立します。

$$30\log_{10}2 < 0.04 + 9 = 9.04$$

両辺を30で割ると、

$$\log_{10}2 < \frac{9.04}{30} = \frac{904}{3000} = \frac{226}{750} = \frac{113}{375}$$

与えられた不等式$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$を示すために、$\frac{113}{375} < \frac{10}{33}$を確かめます。

$$\frac{113}{375} < \frac{10}{33} \Leftrightarrow 113 \times 33 < 10 \times 375 \Leftrightarrow 3729 < 3750$$

これは正しいので、$\frac{113}{375} < \frac{10}{33}$が成立します。

したがって、$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$が証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{10} < \log_{10}2$

(2) $\log_{10}2 < \frac{10}{33}$