問題は、与えられた命題について、その対偶を述べ、元の命題と対偶の真偽を調べることです。 (1) $n$ は3の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は9の倍数 (2) $mn$ は奇数 $\Rightarrow$ $m$, $n$ はともに奇数

1. 問題の内容

問題は、与えられた命題について、その対偶を述べ、元の命題と対偶の真偽を調べることです。

(1) $n$ は3の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は9の倍数

(2) $mn$ は奇数 $\Rightarrow$ $m$, $n$ はともに奇数

2. 解き方の手順

(1)

- 対偶を述べる: 与えられた命題の対偶は、「$n$ が9の倍数でない $\Rightarrow$ $n$ は3の倍数でない」です。

- 元の命題の真偽: $n=6$ は3の倍数ですが、9の倍数ではありません。したがって、元の命題は偽です。

- 対偶の真偽: $n=10$ は9の倍数ではありませんが、3の倍数ではありません。しかし、$n=10$は3の倍数でもありません。$n=10$は3で割ると1余ります。したがって$n$が9の倍数でないとき、$n$は3の倍数でないとは限りません。したがって、対偶も偽です。

(2)

- 対偶を述べる: 与えられた命題の対偶は、「$m$, $n$ がともに奇数でない $\Rightarrow$ $mn$ は奇数でない」です。これは、「$m$ または $n$ が偶数 $\Rightarrow$ $mn$ は偶数」と同値です。

- 元の命題の真偽: $mn$が奇数ならば、$m$も$n$も奇数でなければなりません。もし$m$または$n$が偶数なら、$mn$も偶数になります。したがって、元の命題は真です。

- 対偶の真偽: $m$または$n$が偶数なら、$mn$は偶数になります。したがって、対偶も真です。

3. 最終的な答え

(1)

- 対偶: $n$ は9の倍数でない $\Rightarrow$ $n$ は3の倍数でない

- 元の命題: 偽

- 対偶: 偽

(2)

- 対偶: $m$ または $n$ が偶数 $\Rightarrow$ $mn$ は偶数

- 元の命題: 真

- 対偶: 真