正四面体ABCDにおいて、頂点Bから正四面体の表面を通って頂点Dまで、ひもが緩まないようにかける。辺AC上の点Pを通るようにひもをかけたとき、そのひもの長さ、つまりBP + PDを求めよ。正四面体の一辺の長さは8cmである。

1. 問題の内容

正四面体ABCDにおいて、頂点Bから正四面体の表面を通って頂点Dまで、ひもが緩まないようにかける。辺AC上の点Pを通るようにひもをかけたとき、そのひもの長さ、つまりBP + PDを求めよ。正四面体の一辺の長さは8cmである。

2. 解き方の手順

正四面体の展開図を考えます。ひもが緩まないようにかけるので、展開図上でBとDを結ぶ直線が最短距離となります。

点Pは辺AC上にあるので、三角形ABCと三角形ACDを展開図上で一直線に並べます。

このとき、点B, P, Dは一直線上に並び、BP + PDが最短となります。

三角形ABCと三角形ACDは正三角形なので、∠BCDは120度になります。

三角形BCDにおいて、余弦定理を用いてBDの長さを求めます。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \times BC \times CD \times \cos{120^\circ}$

$BC = CD = 8$より、

$BD^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \times 8 \times 8 \times (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 64 + 64 + 64 = 192$

$BD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}$

したがって、BP + PD の最小値は $8\sqrt{3}$cmとなります。

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3}$ cm