三角形OABにおいて、$OA = \sqrt{17}$, $OB = 4\sqrt{2}$, $AB = 5$とする。点Oから辺ABに垂線を下ろし、辺ABとの交点をHとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答える。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。 (2) $\overrightarrow{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。 (3) 点Pは $|\overrightarrow{OP}| = 1$ を満たしながら動く点とする。三角形PABの面積が最小となる点PをP0とするとき、$\overrightarrow{OP_0}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (4) (3)で定めた点P0に対して、P0を通り辺OBに平行な直線と辺OAの交点をQ, P0を通り辺OAに平行な直線と辺OBの交点をRとするとき、四角形OQP0Rの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$OA = \sqrt{17}$, $OB = 4\sqrt{2}$, $AB = 5$とする。点Oから辺ABに垂線を下ろし、辺ABとの交点をHとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答える。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\overrightarrow{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

(3) 点Pは $|\overrightarrow{OP}| = 1$ を満たしながら動く点とする。三角形PABの面積が最小となる点PをP0とするとき、$\overrightarrow{OP_0}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(4) (3)で定めた点P0に対して、P0を通り辺OBに平行な直線と辺OAの交点をQ, P0を通り辺OAに平行な直線と辺OBの交点をRとするとき、四角形OQP0Rの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$5^2 = (\sqrt{17})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$25 = 17 + 32 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 17 + 32 - 25 = 24$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$

(2) $\overrightarrow{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$とおく。

点Hは辺AB上にあるから、$s+t = 1$。

$\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$より、$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$\overrightarrow{OH} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$s\vec{a} \cdot \vec{b} - s|\vec{a}|^2 + t|\vec{b}|^2 - t\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$12s - 17s + 32t - 12t = 0$

$-5s + 20t = 0$

$s = 4t$

$s + t = 1$に代入して、$4t + t = 1$ より $5t = 1$, $t = \frac{1}{5}$, $s = \frac{4}{5}$

$\overrightarrow{OH} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

(3) $\triangle PAB = \frac{1}{2} |\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}|$

$= \frac{1}{2} |(\vec{a}-\vec{p}) \times (\vec{b}-\vec{p})|$

$= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{p} - \vec{p} \times \vec{b}|$

$= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{p} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{p}|$

$= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{p} \times (\vec{a} - \vec{b})|$

$\triangle PAB$の面積が最小となるのは、$\vec{p}$が$\vec{a} - \vec{b}$に平行で、$\vec{p}$の向きが$\vec{a} - \vec{b}$と逆向きのとき。

$\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{BA}$ であり、点Pは原点中心の単位円周上に存在する。

$\overrightarrow{OP_0} = k \overrightarrow{OH}$ ($k$は実数) とおくと、

$|\overrightarrow{OP_0}| = 1$ より、 $|k\overrightarrow{OH}| = 1$

$|k||\overrightarrow{OH}| = 1$

$\overrightarrow{OH} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$ より

$|\overrightarrow{OH}|^2 = (\frac{4}{5})^2 |\vec{a}|^2 + 2(\frac{4}{5})(\frac{1}{5})\vec{a} \cdot \vec{b} + (\frac{1}{5})^2 |\vec{b}|^2$

$= \frac{16}{25}(17) + \frac{8}{25}(12) + \frac{1}{25}(32) = \frac{272+96+32}{25} = \frac{400}{25} = 16$

$|\overrightarrow{OH}| = 4$

$|k| \cdot 4 = 1$

$|k| = \frac{1}{4}$

$\overrightarrow{OP_0}$ は $\overrightarrow{OH}$ と同じ向きなので、$k = \frac{1}{4}$

$\overrightarrow{OP_0} = \frac{1}{4}(\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{20}\vec{b}$

(4) $\overrightarrow{OQ} = k\vec{a}$ とおくと、 $\overrightarrow{P_0Q}$ は $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ と平行なので、

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP_0} + l \vec{b}$

$k\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{20}\vec{b} + l\vec{b}$

$k\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{a} + (\frac{1}{20}+l)\vec{b}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$ は一次独立なので、$k = \frac{1}{5}$, $\frac{1}{20}+l = 0$, $l = -\frac{1}{20}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{5}\vec{a}$

$\overrightarrow{OR} = m\vec{b}$ とおくと、 $\overrightarrow{P_0R}$ は $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ と平行なので、

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP_0} + n \vec{a}$

$m\vec{b} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{20}\vec{b} + n\vec{a}$

$m\vec{b} = (\frac{1}{5}+n)\vec{a} + \frac{1}{20}\vec{b}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$ は一次独立なので、$m = \frac{1}{20}$, $\frac{1}{5}+n = 0$, $n = -\frac{1}{5}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{20}\vec{b}$

四角形OQP0Rの面積は、$\triangle OQP_0 + \triangle ORP_0$ の面積に等しい。

四角形OQP0Rは平行四辺形だから、面積は $|\frac{1}{5}\vec{a} \times \frac{1}{20}\vec{b}|$

$= \frac{1}{100} |\vec{a} \times \vec{b}|$

$\triangle OAB = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

$OA = \sqrt{17}$, $OB = 4\sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$ より、

$\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{17 \cdot 32 - 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{544-144} = \frac{1}{2}\sqrt{400} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = 20$

したがって四角形OQP0Rの面積は、 $\frac{1}{100} \times 20 = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$

(2) $\overrightarrow{OH} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

(3) $\overrightarrow{OP_0} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{20}\vec{b}$

(4) $\frac{1}{5}$