一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。(1)∠BPC = $\theta$とおく。PB = PC = [ア]√[イ]であるから、cosθ = [ウ]/[エオ]である。よって、△PBCの面積SはS=[カ]√[キク]である。(2)頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、OG = [ケ]√[コ]であるから、正四面体OABCの体積VはV=[サシ]√[ス]となる。よって、四面体OPBCの体積V'はV'=[セ]√[ソ]であるから、頂点Oから平面PBCに下ろした垂線をOHとすると、OH=[タ]/[チッ]√[テト]である。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。(1)∠BPC = $\theta$とおく。PB = PC = [ア]√[イ]であるから、cosθ = [ウ]/[エオ]である。よって、△PBCの面積SはS=[カ]√[キク]である。(2)頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、OG = [ケ]√[コ]であるから、正四面体OABCの体積VはV=[サシ]√[ス]となる。よって、四面体OPBCの体積V'はV'=[セ]√[ソ]であるから、頂点Oから平面PBCに下ろした垂線をOHとすると、OH=[タ]/[チッ]√[テト]である。

2. 解き方の手順

(1)

PB = PCについて:

正四面体OABCの一辺の長さが6なので、AB=BC=CA=OA=OB=OC=6。

PはOAを1:2に内分するので、OP=2, PA=4。

△PBOにおいて余弦定理より、

$PB^2 = OB^2 + OP^2 - 2 \cdot OB \cdot OP \cdot cos(\angle AOB)$

正四面体なので$\angle AOB = 60^\circ$なので、$cos(\angle AOB) = \frac{1}{2}$

$PB^2 = 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 4 - 12 = 28$

よって、$PB = PC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

PB = PC = 2√7

cosθについて:

△PBCにおいて余弦定理より、

$BC^2 = PB^2 + PC^2 - 2 \cdot PB \cdot PC \cdot cos\theta$

$6^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} \cdot cos\theta$

$36 = 28 + 28 - 56 cos\theta$

$56 cos\theta = 20$

$cos\theta = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

cosθ = 5/14

△PBCの面積Sについて:

$S = \frac{1}{2} PB \cdot PC \cdot sin\theta$

$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$より、$sin^2\theta = 1 - (\frac{5}{14})^2 = 1 - \frac{25}{196} = \frac{171}{196} = \frac{9 \cdot 19}{196}$

$sin\theta = \sqrt{\frac{171}{196}} = \frac{3\sqrt{19}}{14}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = 14 \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = 3\sqrt{19}$

S = 3√19

(2)

OGについて:

Gは△ABCの重心なので、AG = $\frac{2}{3}AD$

$AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}$

$AG = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

△OAGにおいて三平方の定理より、

$OG^2 = OA^2 - AG^2 = 6^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$

$OG = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

OG = 2√6

正四面体OABCの体積Vについて:

$V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2) \cdot 2\sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36) \cdot 2\sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

V = 18√2

四面体OPBCの体積V'について:

$V' = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

V' = 6√2

OHについて:

V' = $\frac{1}{3} S \cdot OH$より

$6\sqrt{2} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{19} \cdot OH$

$OH = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{2}\sqrt{19}}{19} = \frac{6\sqrt{38}}{19}$

OH = (6/19)√38

3. 最終的な答え

(1)

PB = PC = 2√7

cosθ = 5/14

S = 3√19

(2)

OG = 2√6

V = 18√2

V' = 6√2

OH = (6/19)√38