点 $A(1, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-2}{-2}$ に垂直な平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点 $A(1, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-2}{-2}$ に垂直な平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

平面の法線ベクトルは、平面に垂直な直線の方向ベクトルと平行です。与えられた直線の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ です。

したがって、求める平面の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ となります。

点 $A(x_0, y_0, z_0)$ を通り、法線ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ を持つ平面の方程式は、次のように表されます。

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

この問題の場合、点 $A(1, -2, 3)$ を通り、法線ベクトル $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ を持つ平面の方程式は、

$5(x - 1) + 4(y - (-2)) - 2(z - 3) = 0$

これを展開して整理します。

$5x - 5 + 4y + 8 - 2z + 6 = 0$

$5x + 4y - 2z + 9 = 0$

3. 最終的な答え

求める平面の方程式は $5x + 4y - 2z + 9 = 0$ です。