点 $A(1, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-2}{-2}$ に垂直な平面の方程式を求めます。

## 問題 (3)

1. 問題の内容

点 $A(1, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-2}{-2}$ に垂直な平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

* 直線 $\frac{x-3}{5} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-2}{-2}$ の方向ベクトルを $\vec{v}$ とすると、$\vec{v} = (5, 4, -2)$ となります。

* 求める平面は直線に垂直なので、平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{v}$ と平行です。したがって、$\vec{n} = (5, 4, -2)$ とすることができます。

* 点 $A(1, -2, 3)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (5, 4, -2)$ である平面の方程式は、次のようになります。

$5(x - 1) + 4(y + 2) - 2(z - 3) = 0$

* この式を整理します。

$5x - 5 + 4y + 8 - 2z + 6 = 0$

$5x + 4y - 2z + 9 = 0$

3. 最終的な答え

$5x + 4y - 2z + 9 = 0$

## 問題 (4)

1. 問題の内容

点 $A(1, 2, 3)$ を通り、$y$軸に垂直な平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

* $y$軸の方向ベクトルは $\vec{j} = (0, 1, 0)$ です。

* $y$軸に垂直な平面の法線ベクトルは $\vec{n}$ は $\vec{j}$ と平行です。したがって、$\vec{n} = (0, 1, 0)$ とすることができます。

* 点 $A(1, 2, 3)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (0, 1, 0)$ である平面の方程式は、次のようになります。

$0(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z - 3) = 0$

* この式を整理します。

$y - 2 = 0$

$y = 2$

3. 最終的な答え

$y = 2$

## 問題 (5)

1. 問題の内容

点 $A(0, 1, 3)$ を通り、以下の2つの直線を含む平面の方程式を求めます。

$l_1: \begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = 3 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$

$l_2: \begin{cases} x = -1 + s \\ y = 3 - s \\ z = 1 + 2s \end{cases}$

2. 解き方の手順

* 直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (-2, 3, 1)$、直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, -1, 2)$ です。

* 平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の両方に垂直なので、外積を計算します。

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (6+1)\vec{i} - (-4-1)\vec{j} + (2-3)\vec{k} = (7, 5, -1)$

* 点 $A(0, 1, 3)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (7, 5, -1)$ である平面の方程式は、次のようになります。

$7(x - 0) + 5(y - 1) - 1(z - 3) = 0$

* この式を整理します。

$7x + 5y - 5 - z + 3 = 0$

$7x + 5y - z - 2 = 0$

3. 最終的な答え

$7x + 5y - z - 2 = 0$