(1) $(a-b-2)^2$ を展開する問題を、$ (a-M)^2 $ の形とみなして工夫して計算する。 (1-①) $M$ に当てはまる式を答える。 (1-②) (1-①)の結果を使って $(a-M)^2$ を展開する計算過程を記述する。 (2) $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $(a-b-2)^2$ を展開する問題を、$(a-M)^2$ の形とみなして工夫して計算する。

(1-①) $M$ に当てはまる式を答える。

(1-②) (1-①)の結果を使って $(a-M)^2$ を展開する計算過程を記述する。

(2) $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1-①) $(a-b-2)^2$ を $(a-M)^2$ の形とみなすので、$-M = -b-2$ であるから $M = b+2$ である。

(1-②) $M = b+2$ を用いて $(a-M)^2$ を展開する。

$(a-M)^2 = a^2 - 2aM + M^2$ に $M = b+2$ を代入すると、

$(a - (b+2))^2 = a^2 - 2a(b+2) + (b+2)^2 = a^2 - 2ab - 4a + b^2 + 4b + 4$

(2) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{(y-x)(y+x)}{xy}$

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ と $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ を代入すると、

$x+y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

$x-y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

$y-x = -(x-y) = -2\sqrt{2}$

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

$\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{(-2\sqrt{2})(2\sqrt{3})}{1} = -4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1-①) $M = b+2$

(1-②) $a^2 - 2ab - 4a + b^2 + 4b + 4$

(2) $-4\sqrt{6}$