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$5^{30}$ は何桁の整数か求める問題です。ただし、$\log_{10}5 = 0.6990$ を用いて計算します。

代数学指数対数桁数
2025/6/26

1. 問題の内容

5305^{30} は何桁の整数か求める問題です。ただし、log⁡105=0.6990\log_{10}5 = 0.6990 を用いて計算します。

2. 解き方の手順

桁数を求めるためには、常用対数を利用します。
まず、5305^{30} の常用対数を計算します。
log⁡10530=30×log⁡105\log_{10}5^{30} = 30 \times \log_{10}5
log⁡105=0.6990\log_{10}5 = 0.6990 なので、
log⁡10530=30×0.6990=20.97\log_{10}5^{30} = 30 \times 0.6990 = 20.97
20<log⁡10530<2120 < \log_{10}5^{30} < 21 なので、1020<530<102110^{20} < 5^{30} < 10^{21} となります。
したがって、5305^{30} は 102010^{20} より大きく、102110^{21} より小さいので、2121 桁の整数です。

3. 最終的な答え

21 桁

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