四面体ABCDにおいて、AB=AC=DB=DC=8cm、BC=AD=4cmである。辺BCの中点をMとするとき、以下の問いに答える。 (1) △AMDの面積を求める。 (2) 四面体ABCDの体積を求める。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、AB=AC=DB=DC=8cm、BC=AD=4cmである。辺BCの中点をMとするとき、以下の問いに答える。

(1) △AMDの面積を求める。

(2) 四面体ABCDの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) △AMDの面積を求める。

まず、AMとDMの長さを求める。

△ABMにおいて、AMは中線である。余弦定理を用いると、

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos B$

$BM = BC/2 = 4/2 = 2$なので、

$AM^2 = 8^2 + 2^2 - 2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \cos B$

次に、$\cos B$を求める。

△ABCにおいて、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$8^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos B$

$64 = 64 + 16 - 64 \cos B$

$0 = 16 - 64 \cos B$

$64 \cos B = 16$

$\cos B = 16/64 = 1/4$

これを$AM^2$の式に代入すると

$AM^2 = 64 + 4 - 32 \cdot (1/4) = 68 - 8 = 60$

$AM = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

同様に、DMの長さを求める。

△DMCにおいて、DMは中線である。

$DM^2 = DC^2 + MC^2 - 2 \cdot DC \cdot MC \cdot \cos C$

$MC = BC/2 = 2$

$DM^2 = 8^2 + 2^2 - 2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \cos C$

$\cos C = \cos B = 1/4$

$DM^2 = 64 + 4 - 32 \cdot (1/4) = 68 - 8 = 60$

$DM = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

したがって、AM = DM = $2\sqrt{15}$となる。また、AD = 4である。

△AMDは二等辺三角形である。MからADに垂線を下ろし、その交点をHとする。

AH = AD/2 = 4/2 = 2

$MH = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 - 2^2} = \sqrt{60 - 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

△AMDの面積 = $(1/2) \cdot AD \cdot MH = (1/2) \cdot 4 \cdot 2\sqrt{14} = 4\sqrt{14}$

(2) 四面体ABCDの体積を求める。

点Aから平面BCDに垂線を下ろし、その交点をHとする。

また、点Dから平面ABCに垂線を下ろし、その交点をIとする。

四面体ABCDの体積は、△ABCを底面とすると、高さDIとなる。

また、△BCDを底面とすると、高さAHとなる。

体積 = (1/3) * 底面積 * 高さ

△ABCの面積をS1とすると、S1 = (1/2) * AB * BC * sinB

sinBを求める。

sin^2 B + cos^2 B = 1

sin^2 B = 1 - cos^2 B = 1 - (1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16

sin B = $\sqrt{15}/4$

S1 = (1/2) * 8 * 4 * ($\sqrt{15}/4$) = $4\sqrt{15}$

△BCDの面積をS2とすると、S2 = (1/2) * DB * BC * sinC

sinC = sinB = $\sqrt{15}/4$

S2 = (1/2) * 8 * 4 * ($\sqrt{15}/4$) = $4\sqrt{15}$

したがって、△ABCと△BCDの面積は同じ。

求める体積をVとすると、

V = (1/3) * S1 * DI = (1/3) * S2 * AH

四面体ABCDは、線分ADと線分BCがねじれの位置にある四面体。

求める体積は$8\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) △AMDの面積: $4\sqrt{14} cm^2$

(2) 四面体ABCDの体積: $8\sqrt{7} cm^3$