四面体 ABCD があり、AB = AC = DB = DC = 8cm、BC = AD = 4cm である。辺 BC の中点を M とする。 (1) 三角形 AMD の面積を求める。 (2) 四面体 ABCD の体積を求める。

1. 問題の内容

四面体 ABCD があり、AB = AC = DB = DC = 8cm、BC = AD = 4cm である。辺 BC の中点を M とする。

(1) 三角形 AMD の面積を求める。

(2) 四面体 ABCD の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形 AMD の面積を求める。

まず、AM と DM の長さを求める。

三角形 ABC において、AM は中線である。AB = AC = 8, BC = 4 より、AM は BC の垂直二等分線になる。AM は三角形 ABC の高さでもある。

$AM = \sqrt{AB^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

同様に、三角形 DBC において、DM は中線である。DB = DC = 8, BC = 4 より、DM は BC の垂直二等分線になる。DM は三角形 DBC の高さでもある。

$DM = \sqrt{DB^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

三角形 AMD は、AM = DM = $2\sqrt{15}$, AD = 4 の二等辺三角形である。

A から AD に垂線を下ろし、その交点を H とする。すると、AH は AD の垂直二等分線となる。よって、AH は AMD の高さとなる。

$AH = \sqrt{AM^2 - (AD/2)^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 - 2^2} = \sqrt{60 - 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

したがって、三角形 AMD の面積は、

$\frac{1}{2} \times AD \times AH = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{14} = 4\sqrt{14}$

(2) 四面体 ABCD の体積を求める。

四面体 ABCD を、三角形 BCD を底面とする三角錐とみると、高さは A から三角形 BCD に下ろした垂線になる。

三角形 ABC と三角形 DBC は合同な二等辺三角形である。AM と DM はどちらも BC の垂直二等分線なので、AD の中点を N とすると、MN は AD の垂直二等分線となる。

よって、MN 垂直 AD。AM = DM = $2\sqrt{15}$ より、三角形 AMD は二等辺三角形である。

MN は AD の垂直二等分線であり、AD と交わる点を N とする。

$AN = AD/2 = 4/2 = 2$

$MN = \sqrt{AM^2 - AN^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 - 2^2} = \sqrt{60 - 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

M から AD に垂線を下ろし、その交点を H とする。このとき、AH = 2 となる。

また、AM = DM = $2\sqrt{15}$ であり、BC の中点が M なので、AM 垂直 BC, DM 垂直 BC

AM = DM = $2\sqrt{15}$、AD = BC = 4 である。

四面体 ABCD の体積は、$V = \frac{1}{3} (\text{三角形 BCD の面積}) \times (\text{A から三角形 BCD への高さ})$

三角形 BCD の面積は $\frac{1}{2} \times BC \times DM = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{15} = 4\sqrt{15}$

$V = \frac{1}{6} \times BC \times AD \times MN = \frac{1}{6} \times 4 \times 4 \times 2\sqrt{14} = \frac{16\sqrt{14}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形 AMD の面積: $4\sqrt{14} \text{ cm}^2$

(2) 四面体 ABCD の体積: $\frac{32\sqrt{14}}{3} \text{ cm}^3$