$\sin \theta + \cos \theta$ を $r \cos (\theta - \beta)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$、$-\pi < \beta \leq \pi$ とする。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta$ を $r \cos (\theta - \beta)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$、$-\pi < \beta \leq \pi$ とする。

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を利用する。

$\sin \theta + \cos \theta$ を $r \cos (\theta - \beta)$ の形に書き換えることを考える。

$r \cos(\theta - \beta) = r(\cos \theta \cos \beta + \sin \theta \sin \beta) = (r \sin \beta) \sin \theta + (r \cos \beta) \cos \theta$

したがって、

$r \sin \beta = 1$

$r \cos \beta = 1$

となる必要がある。

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2 \sin^2 \beta + r^2 \cos^2 \beta = 1^2 + 1^2$

$r^2 (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = 2$

$r^2 = 2$

$r > 0$ より、

$r = \sqrt{2}$

$r \sin \beta = 1$ より、 $\sin \beta = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$r \cos \beta = 1$ より、 $\cos \beta = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\sin \beta = \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\beta$ を求める。

$-\pi < \beta \leq \pi$ の範囲で考えると、$\beta = \frac{\pi}{4}$ である。

したがって、

$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$