点A(2, 1)を通り、方向ベクトル $\vec{u} = (-1, 3)$とする直線を媒介変数表示し、媒介変数を消去して直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 1)を通り、方向ベクトル $\vec{u} = (-1, 3)$とする直線を媒介変数表示し、媒介変数を消去して直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線上の点をP(x, y)とすると、$\vec{AP}$ は $\vec{u}$ の実数倍で表せる。媒介変数をtとすると、

$\vec{AP} = t\vec{u}$

と表せる。ここで、$\vec{AP} = (x-2, y-1)$であるから、

$(x-2, y-1) = t(-1, 3)$

したがって、

$x - 2 = -t$

$y - 1 = 3t$

となる。これらの式から媒介変数tを消去する。一つ目の式から、$t = 2 - x$である。これを二つ目の式に代入すると、

$y - 1 = 3(2 - x)$

$y - 1 = 6 - 3x$

$y = -3x + 7$

3. 最終的な答え

媒介変数表示：

$x = 2 - t$

$y = 1 + 3t$

直線の方程式：

$y = -3x + 7$