(1) 円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(3, 2)$ における接線の方程式を求めよ。また、円外の点 $(5, 1)$ から引いた接線の方程式を求めよ。 (2) 円 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5$ の接線で、傾きが $2$ である直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(3, 2)$ における接線の方程式を求めよ。また、円外の点 $(5, 1)$ から引いた接線の方程式を求めよ。

(2) 円 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5$ の接線で、傾きが $2$ である直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = r^2$ である。

したがって、円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(3, 2)$ における接線の方程式は $3x + 2y = 13$ となる。

次に、円外の点 $(5, 1)$ から引いた接線の方程式を求める。

接線を $y - 1 = m(x - 5)$ とおく。

これは $y = mx - 5m + 1$ と変形できる。

この直線と円 $x^2 + y^2 = 13$ が接するので、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y - 5m + 1 = 0$ の距離が円の半径 $\sqrt{13}$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) - 5m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{13}$

$\frac{|-5m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$

両辺を2乗して、

$(-5m + 1)^2 = 13(m^2 + 1)$

$25m^2 - 10m + 1 = 13m^2 + 13$

$12m^2 - 10m - 12 = 0$

$6m^2 - 5m - 6 = 0$

$(2m - 3)(3m + 2) = 0$

$m = \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}$

したがって、接線の方程式は $y = \frac{3}{2} x - 5(\frac{3}{2}) + 1$ と $y = -\frac{2}{3} x - 5(-\frac{2}{3}) + 1$ となる。

整理すると $y = \frac{3}{2} x - \frac{13}{2}$ と $y = -\frac{2}{3} x + \frac{13}{3}$ となる。

つまり $3x - 2y - 13 = 0$ と $2x + 3y - 13 = 0$ となる。

(2)

円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ の接線のうち、傾きが $m$ の直線の方程式は

$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$ である。

円 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5$ の接線で、傾きが $2$ である直線の方程式は

$y + 3 = 2(x - 2) \pm \sqrt{5} \sqrt{1 + 2^2}$

$y + 3 = 2x - 4 \pm \sqrt{5} \sqrt{5}$

$y + 3 = 2x - 4 \pm 5$

$y = 2x - 7 \pm 5$

したがって、接線の方程式は $y = 2x - 2$ と $y = 2x - 12$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

ア: $3x + 2y = 13$

イ: $3x - 2y - 13 = 0, 2x + 3y - 13 = 0$

(2)

ウ: $y = 2x - 2, y = 2x - 12$