点 $(0, \frac{1}{2})$ から双曲線 $\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(0, \frac{1}{2})$ から双曲線 $\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

接点を $(x_1, y_1)$ とします。

接点は双曲線 $\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$ 上にあるので、

$\frac{x_1^2}{5} - y_1^2 = 1$ ... (1)

接線の方程式は $\frac{x_1 x}{5} - y_1 y = 1$ と表されます。

この接線は点 $(0, \frac{1}{2})$ を通るので、

$\frac{x_1 \cdot 0}{5} - y_1 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$-\frac{1}{2}y_1 = 1$

$y_1 = -2$ ... (2)

(1)に(2)を代入すると、

$\frac{x_1^2}{5} - (-2)^2 = 1$

$\frac{x_1^2}{5} - 4 = 1$

$\frac{x_1^2}{5} = 5$

$x_1^2 = 25$

$x_1 = \pm 5$

したがって、接点は $(5, -2)$ と $(-5, -2)$ です。

接線の方程式は $\frac{x_1 x}{5} - y_1 y = 1$ であり、$y_1 = -2$ なので、

$\frac{x_1 x}{5} + 2y = 1$

接点が $(5, -2)$ のとき、$\frac{5x}{5} + 2y = 1$ より $x + 2y = 1$

接点が $(-5, -2)$ のとき、$\frac{-5x}{5} + 2y = 1$ より $-x + 2y = 1$

3. 最終的な答え

$x + 2y = 1$ と $-x + 2y = 1$