2つの直線 $\sqrt{3}x + y - 8 = 0$ と $x - y - 5 = 0$ のなす鋭角を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $\sqrt{3}x + y - 8 = 0$ と $x - y - 5 = 0$ のなす鋭角を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の傾きを求めます。

直線の式を $y = ax + b$ の形に変形すると、 $a$ が傾きになります。

* $\sqrt{3}x + y - 8 = 0$ を変形すると、$y = -\sqrt{3}x + 8$ となり、傾きは $m_1 = -\sqrt{3}$ です。

* $x - y - 5 = 0$ を変形すると、$y = x - 5$ となり、傾きは $m_2 = 1$ です。

2つの直線のなす角 $\theta$ は、以下の式で求められます。

$tan\theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|$

傾きの値を代入して計算します。

$tan\theta = |\frac{-\sqrt{3} - 1}{1 + (-\sqrt{3})(1)}| = |\frac{-\sqrt{3} - 1}{1 - \sqrt{3}}| = |\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}|$

有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3} + 1$ をかけます。

$tan\theta = |\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}| = |\frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1}| = |\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}| = |2 + \sqrt{3}|$

$tan\theta = 2 + \sqrt{3}$

これは正の値なので絶対値はそのまま外せます。

$\theta$を求めます。

$tan(75^\circ) = tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{tan(45^\circ) + tan(30^\circ)}{1 - tan(45^\circ)tan(30^\circ)} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

したがって$\theta = 75^\circ$です。

3. 最終的な答え

75°