1. 問題の内容
三角形の内接円があり、接点をD, E, Fとする。
AF=7, CE=8, CD=9 である。
BD=x を求める。
2. 解き方の手順
円外の一点から円に引いた接線の長さは等しいので、
AF = AB - BF, CE = AC - AE, BD = BC - CD が成り立つ。
また、円外の一点から円に引いた接線の長さは等しいので、以下の関係が成り立つ。
AF = AE = 7
BF = BD = x
CD = CE = 8
与えられている情報から、BC = BD + CD = x + 8 となる。
問題文にはBCの長さが9と記載されていますが、CE = 8のため、CD = 8 である必要があります。
AB = AF + FB = 7 + x
AC = AE + EC = 7 + 8 = 15
したがって、
BC = BD + DC = x + 8
問題の図には BC = 9 と書いてありますが、CE=8 より、CD=CE=8であるため、本来はCD = 8となるはずです。BCの長さは x+8 = 9とすると、x=1になるので、BD = 1と仮定します。
もしくは、CE = 8の記載が間違っていて、CD = CE = 9とした場合、BC = 9 + x となります。
AB = AF + FB = 7 + x
AC = AE + EC = 7 + EC
BC = BD + CD = x + 9
CE = CD である必要があるので、CE = 9とすると
AC = 7 + 9 = 16 となります。
この場合はxの値は確定しません。
問題文の通り、BD = x, BC = 9と仮定すると、
CD = BC - BD = 9 - x。
また、CD = CEより、CE = 9 - x。
AC = AE + EC = 7 + (9 - x) = 16 - x。
3. 最終的な答え
問題文を修正し、CE = 8ではなく、CE = CD = 9とすると、BC = x + 9となりますが、AB, AC, BCの関係式が不明なため、xは定まりません。
もし問題文の通りBC = 9だとすると、
BD = x = 7
BD = BF = x
CD = CE = 8
BC = BD + DC = 8 + x = 9 より
x = 1
したがって、BD = x = 1
最終的な答え：
1