三角形ABCにおいて、$AB=4$, $CA=6$, $\cos A = -\frac{2}{5}$であるとき、以下の問題を解く。 (8) $\sin A$の値を求めよ。 (9) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $CA=6$, $\cos A = -\frac{2}{5}$であるとき、以下の問題を解く。

(8) $\sin A$の値を求めよ。

(9) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(8) $\sin A$の値を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$の関係を使う。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\cos A = -\frac{2}{5}$なので、

$\sin^2 A = 1 - (-\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$0 < A < \pi$より$\sin A > 0$なので、

$\sin A = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

(9) 三角形ABCの面積Sを求める。

三角形の面積の公式$S = \frac{1}{2}bc\sin A$を用いる。

$AB = c = 4$, $CA = b = 6$, $\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$を代入する。

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \frac{\sqrt{21}}{5} = 12 \times \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{12\sqrt{21}}{5}$

3. 最終的な答え

(8) $\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

(9) $S = \frac{12\sqrt{21}}{5}$