平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も同一の点を通らないとする。これらの直線の交点の数を $a_n$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) $a_2, a_3, a_4$ を求めよ。 (2) $a_{k+1}$ を $a_k$ と $k$ で表せ。 (3) $n \ge 2$ のとき、$a_n$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も同一の点を通らないとする。これらの直線の交点の数を $a_n$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $a_2, a_3, a_4$ を求めよ。

(2) $a_{k+1}$ を $a_k$ と $k$ で表せ。

(3) $n \ge 2$ のとき、$a_n$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$a_2$: 2本の直線があるとき、交点は1つなので、$a_2 = 1$。

$a_3$: 3本の直線があるとき、1本目の直線と2本目の直線で1つの交点、1本目の直線と3本目の直線で1つの交点、2本目の直線と3本目の直線で1つの交点があるので、$a_3 = 1+1+1 = 3$。

$a_4$: 4本の直線があるとき、各直線は他の3本の直線と交わるので、交点の数は $4 \times 3 = 12$。ただし、同じ直線の組み合わせを2回数えているので、2で割って、$a_4 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$。

(2)

$k$ 本の直線があるとき、交点の数は $a_k$。

$k+1$ 本目の直線を引くと、$k$ 本の直線それぞれと交わるので、$k$ 個の交点が新たに増える。

したがって、$a_{k+1} = a_k + k$。

(3)

$a_{k+1} = a_k + k$ より、$a_k = a_{k-1} + (k-1)$。

$a_n = a_{n-1} + (n-1)$

$= a_{n-2} + (n-2) + (n-1)$

$= a_2 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$

$= 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$

$= \sum_{i=1}^{n-1} i$

$= \frac{(n-1)n}{2}$

$= \frac{n^2 - n}{2}$

$= \frac{n(n-1)}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 1, a_3 = 3, a_4 = 6$

(2) $a_{k+1} = a_k + k$

(3) $a_n = \frac{n(n-1)}{2}$