点Oを中心とし、直径の長さが3である円Oにおいて、直径ABを延長してAB=BCとなる点Cを点A以外にとる。点Cから円Oに接線を引き、その接点をTとする。 (1) CTの長さを求めよ。 (2) ATの長さを求めよ。(BT=x, AT=yとして、2式作る) (3) 線分TCを1:2に内分する点をDとし、ADとOT, BTとの交点をそれぞれE, Fとする。EFの長さを求めよ。
2025/7/8
## 問題3
1. **問題の内容**
点Oを中心とし、直径の長さが3である円Oにおいて、直径ABを延長してAB=BCとなる点Cを点A以外にとる。点Cから円Oに接線を引き、その接点をTとする。
(1) CTの長さを求めよ。
(2) ATの長さを求めよ。(BT=x, AT=yとして、2式作る)
(3) 線分TCを1:2に内分する点をDとし、ADとOT, BTとの交点をそれぞれE, Fとする。EFの長さを求めよ。
2. **解き方の手順**
(1) CTの長さを求める。
円の直径が3なので、半径は である。したがって、 。
また、 より、 である。よって、 。
CTは円Oの接線なので、三角形OTCは直角三角形で、 である。
三平方の定理より、。
したがって、。
よって、。
(2) ATの長さを求める。
, とする。
方べきの定理より、。
, なので、。これは(1)の結果と一致する。
また、, より、
接弦定理より、。三角形ABTと三角形ATCは相似なので、
が成り立つ。したがって、, 。
ここで、 である。
(直径)なので、。
また、。
。
, つまり 。
, とおける。
, したがって、
、 と置くと、 だから であり、からCTは接線なので、
別のやり方として、接線定理より、となり、. また、, とおくと , で , が成り立つ。
より、, 。 よって 。
(3) EFの長さを求める。
3. **最終的な答え**
(1)
(2)
(3)