点Oを中心とし、直径の長さが3である円Oにおいて、直径ABを延長してAB=BCとなる点Cを点A以外にとる。点Cから円Oに接線を引き、その接点をTとする。 (1) CTの長さを求めよ。 (2) ATの長さを求めよ。(BT=x, AT=yとして、2式作る) (3) 線分TCを1:2に内分する点をDとし、ADとOT, BTとの交点をそれぞれE, Fとする。EFの長さを求めよ。

幾何学接線三平方の定理方べきの定理相似
2025/7/8
## 問題3

1. **問題の内容**

点Oを中心とし、直径の長さが3である円Oにおいて、直径ABを延長してAB=BCとなる点Cを点A以外にとる。点Cから円Oに接線を引き、その接点をTとする。
(1) CTの長さを求めよ。
(2) ATの長さを求めよ。(BT=x, AT=yとして、2式作る)
(3) 線分TCを1:2に内分する点をDとし、ADとOT, BTとの交点をそれぞれE, Fとする。EFの長さを求めよ。

2. **解き方の手順**

(1) CTの長さを求める。
円の直径が3なので、半径は 32 \frac{3}{2} である。したがって、OB=32 OB = \frac{3}{2}
また、AB=BC AB = BC より、BC=3 BC = 3 である。よって、OC=OB+BC=32+3=92 OC = OB + BC = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}
CTは円Oの接線なので、三角形OTCは直角三角形で、OTC=90 \angle OTC = 90^\circ である。
三平方の定理より、OC2=OT2+CT2 OC^2 = OT^2 + CT^2
したがって、CT2=OC2OT2=(92)2(32)2=81494=724=18 CT^2 = OC^2 - OT^2 = (\frac{9}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = \frac{81}{4} - \frac{9}{4} = \frac{72}{4} = 18
よって、CT=18=32 CT = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
(2) ATの長さを求める。
BT=xBT = x, AT=yAT = yとする。
方べきの定理より、CT2=CBCA CT^2 = CB \cdot CA
CB=3 CB = 3 , CA=AB+BC=3+3=6 CA = AB + BC = 3 + 3 = 6 なので、CT2=36=18 CT^2 = 3 \cdot 6 = 18 。これは(1)の結果と一致する。
また、AT2=BTCTCTBT AT^2 = BT \cdot CT \cdot \frac{CT}{BT} , AT=y,BT=xAT=y, BT=xより、
接弦定理より、ATC=CBT=ABT \angle ATC = \angle CBT = \angle ABT 。三角形ABTと三角形ATCは相似なので、
ATBT=CTAT \frac{AT}{BT} = \frac{CT}{AT} が成り立つ。したがって、AT2=BTCT AT^2 = BT \cdot CT, y2=xAC y^2 = x \cdot AC
ここで、AC=AB+BC=6 AC = AB+BC = 6 である。
x+y=3x + y = 3 (直径)なので、x=3y x = 3 - y
また、CT=32 CT = 3\sqrt{2}
CT2=CBCA=36=18 CT^2 = CB \cdot CA = 3 \cdot 6 = 18
AT2=BTBC=x(x+3+3)=(3x)6 AT^2 = BT \cdot BC = x(x+3+3)= (3-x)*6
AT2=BTAC=x6 AT^2 = BT \cdot AC = x*6, つまり AT=6x AT = \sqrt{6x}
AT2=BT(BT+AB)=BT(BT+3) AT^2 = BT\cdot(BT + AB) = BT\cdot(BT + 3) , y=x(x+3) y = \sqrt{x(x+3)} とおける。
ATAB=CTBC=323=2 \frac{AT}{AB} = \frac{CT}{BC} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} , したがって、AT=3233=2×AB3AT = \frac{3\sqrt{2}}{3} \cdot 3 = \frac{\sqrt{2} \times AB}{3}
ATBT=CT2 AT \cdot BT = CT^{2} 、 BT=xBT=x と置くと、 AC=6 AC=6 だから CT=6BTCT= \sqrt{6BT} であり、3/2 \sqrt{3/2} からCTは接線なので、CT=ACBC=6x CT = \sqrt{AC * BC } = \sqrt{6x}
別のやり方として、接線定理より、CT2=BCCA=36=18 CT^{2} = BC * CA = 3 * 6 = 18となり、CT=32CT = 3\sqrt{2}. また、BT=x BT = x, AT=yAT = yとおくと BC=3BC = 3, CA=6CA = 6 CT2=CBCACT^2 = CB・CA , 32+32=18=363^2 + 3^2 = 18=3・6が成り立つ。
ABTATC \triangle ABT \sim \triangle ATC より、ABAT=ATAC \frac{AB}{AT} = \frac{AT}{AC} , AT2=ABAC=36=18AT^{2} = AB * AC = 3*6=18。 よって AT=32AT = 3√2
(3) EFの長さを求める。

3. **最終的な答え**

(1) CT=32 CT = 3\sqrt{2}
(2) AT=32 AT = 3\sqrt{2}
(3)

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